РАБОЧАЯ  ПРОГРАММА

дисциплины

 

ЧИСЛЕННЫЕ  МЕТОДЫ

  

Направление:     657100 – Прикладная математика 

Специальность:     073000 – Прикладная математика

1. Цель и задачи дисциплины

В курсе изучаются вопросы построения, применения и теоретического обоснования алгоритмов приближенного решения различных классов математических задач. Методы вычислительной математики являются важным средством практической реализации вычислительного эксперимента - способа теоретического исследования с ложных процессов, допускающих математическое описание. Решение многих современных научно-технических проблем нефтегазовой отрасли стало возможным лишь и связи с применением математического моделирования и новых численных методов, предназначенных для реализации на компьютерах.

Курс относится к числу базовых дисциплин, знание которых необходимо для современного инженера-исследователя. В результате изучения курса студенты должны овладеть теоретическими основами методов вычислительной математики, а также получить практические навыки в области реализации математических моделей на компьютерах.

Содержание курса основано на знаниях, приобретенных при изучении предшествующих дисциплин: алгебры, анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики.

 

2.   Требования к уровню освоения содержания дисциплины

В результате изучения курса студенты должны овладеть теоретическими основами методов прикладной математики и получить практические навыки в области реализации математических моделей на компьютерах с использованием математического пакетов MAPLE 7, MATHEMATICA и MATLAB а также изучить вопросы построения математической модели физического процесса, ее вычислительной реализации, исследования адекватности модели наблюдаемому процессу и устойчивости полученного решения.

Студенты должны усвоить:

·         основные методологические аспекты построения математических моделей,

·         возможности использования современных программных средств вычислительной техники,

·         приемы компьютерного исследования различных математических моделей,

·         новые знания по вычислительной математике и информатике,

 

 

3.   Объем дисциплины и виды учебной  работы

 

Виды учебной работы

 

Всего

 

Семестры

 

часов

3

4

5

6

Общая трудоемкость дисциплины

72

 

 

72

 

Аудиторные занятия

36

 

 

36

 

   Лекции

18

 

 

18

 

   Практические занятия (ПЗ)

 

 

 

 

 

   Семинары (С)

 

 

 

 

 

   Лабораторные работы (ЛР)

18

 

 

18

 

   и (или) другие виды аудиторных занятий

 

 

 

 

 

Самостоятельная работа

36

 

 

36

 

   Курсовой проект (работа)

 

 

 

 

 

   Расчетно-графические работы

 

 

 

 

 

   Реферат

 

 

 

 

 

   и (или) другие виды самостоятельной

   работы

 

 

 

 

 

Виды итогового контроля (зачет, экзамен)

 

 

 

Э

 

 

4.   Содержание дисциплины

4.1. Разделы дисциплины и виды занятий

 

Раздел дисциплины

Лекции

ПЗ (или С)

ЛР

1

Понятие о методологических основах моделирования

2

-

-

2

Обзор программных инженерных систем численно-аналитических преобразований

4

-

-

3

Аппроксимация и сплайн-интерполяция 

4

-

9

4

Численные методы линейной алгебры

8

-

9

 

 

4.2. Содержание разделов дисциплины

 

  1. Понятие о методологических основах моделирования. Концепция вычислительного эксперимента как способа теоретического исследования естественнонаучных проблем средствами вычислительной математики. Основные этапы построения математических моделей и особенности их реализации.
  2. Обзор инженерных систем численно-аналитических преобразований (математические пакеты MAPLE, MATLAB, MATHCAD, MATEMATIKA).
  3. Задача теории интерполирования. Обобщенные многочлены. Чебышевские системы функций. Теорема о существовании и единственности обобщенного интерполяционного многочлена. Классическая полиномиальная интерполяция (Ньютона, Лагранжа). Теоремы о существовании и единственности интерполяционного полинома, об ошибке полиномиальной интерполяции. Минимизация, оценки погрешности интерполяции. Теоремы о сходимости классической процедуры интерполяции. Приближения в линейных нормированных пространствах. Наилучшие равномерные приближения непрерывных функций обобщенными многочленами. Теорема Хаара. Алгебраические полиномы наилучшего приближения. Наилучшие приближения в гильбертовых пространствах. Теорема о существовании и единственности элемента наилучшего приближения в простванстве L2. Теорема Теплера и ее следствия. Теорема о сходимости последовательности наилучших приближений, построенной по полной о.н.с. элементов (отрезок ряда Фурье) в гильбертовом пространстве. Общие свойства классических ортогональных полиномов. Многочлены наилучшего среднеквадратичного приближения, построенные на основе классических ортогональных полиномов. Оценки приближений. Обработка экспериментальных данных на основе метода наименьших квадратов. Сплайн-аппроксимация функций. Интерполяционные полиномиальные сплайны. Алгоритмы построения кубических интерполяционных сплайнов. Экстремальное свойство кубических сплайнов. Теоремы о равномерной сходимости процесса интерполирования кубическими сплайнами. Оценки приближений. Алгоритмы построения параболических интерполяционных сплайнов. Теоремы о равномерной сходимости процедуры сплайн-интерполяции параболическими сплайнами. B-сплайны. Представление параболических сплайнов через B-сплайны. Вариационный подход при построении сплайнов. Сглаживающие сплайны и их экстремальные свойства. Двумерные кубические сплайны. Применение сплайнов в численном анализе. Решение интегральных уравнений. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение задачи Коши с помощью кубических и параболических сплайнов.
  4. Основы линейной алгебры. Векторные матрицы. Линейная независимость, ортогональность, подпространства. Специальные матрицы. Блочные и комплексные матрицы. Нормы, подпространства, чувствительность. Систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Векторные нормы. Матричные нормы. Сингулярное разложение. Ортогональное проектирование и CS разложение. Чувствительность СЛАУ. Вычислительная матричная алгебра. Матричные алгоритмы. Ошибки округления. Преобразование Хаусхолдера. Преобразование Гивепса. Преобразование Гаусса. Метод исключения Гаусса. Треугольные системы. Вычисление LU декомпозиции. Анализ ошибок метода исключения Гаусса. Вращения. Метод оценки и повышение точности решения.  СЛАУ специального вида. LDMT и LDLT декомпозиция. Положительно определенные СЛАУ. Ленточные системы. Симметричные системы. Блочнотреугольные системы. Системы Вандермонда. Теплицевы системы.  Ортогонализация и метод наименьших квадратов (МНК). Математические свойства МНК. Метод Грамма-Шмидта и Хаусхолдера. Метод Гивепса и ускоренный метод Гивепса. Ранговая зависимость: QR с вращением по столбцам. Ранговая зависимость: сингулярное разложение. Невязки и итеративное уточнение. Итеративные методы решения СЛАУ. Классические итерационные процедуры. Свойства метода сопряженных градиентов. Практическая реализация метода сопряженных градиентов. Матричные функции. Методы собственных значений. Методы аппроксимации. Матричная экспонента. Несимметричные проблемы собственных чисел. Свойства и разложения. Теория возмущений. Степенная итерация. Декомпозиция Хе-сенберга и Шура. Практическая реализация QR алгоритма. Вычисление собственных векторов и инвариантных подпространств. Алгоритм QZ для Ах = ХВх. Симметрическая задача собственных значений. Свойства, разложение, теория возмущений. Тридиагонализация и симметричный QR алгоритм. Сингулярное разложение. Метод Якоби. Специальные методы. Обобщенная задача собственных значений.

 

5.   Лабораторный практикум

 

№п/п

№ раздела дисциплины

Наименование лабораторных работ

1

3

Интерполяция экспериментальных данных:классическая полиномиальная, линейный и кубический интерполяционные сплайны

2

3

Аппроксимация экспериментальных данных на основе метода наименьших квадратов.

3

4

Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

4

4

Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

5

4

Численные методы поиска собственных значений.

 

 

6.   Учебно-методическое обеспечение дисциплины

6.1. Рекомендуемая литература

       а) основная литература

  1. Арсеньев-Образцов С.С., Жукова Т.М. Введение в систему компьютерной алгебры MAPLE V версия 5. ч.1 – М.: Нефть и Газ, РГУ им. Губкина, 2000 – 65 с.
  2. Арсеньев-Образцов С.С., Жукова Т.М. Введение в систему компьютерной алгебры MAPLE V версия 5. ч.2– М.: Нефть и Газ, РГУ им. Губкина, 2000 – 67 с.
  3. Гливенко Е. В. Наймарк Б.М..Численные методы курс лекций РГУ им Губкина 2001 - 40 с
  4. Бахвалов Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях задачник Высшая школа. 2000 – 190 с.
  5. Основы компьютерного моделирования. – М.: Нефть и Газ, РГУ им. Губкина, 2000 – 287 с.

 

6.2. Средства обеспечения освоения дисциплины: система компьютерной алгебры Maple 7, система проведения и визуализации численных расчетов Matlab 6.

       

7.   Материально-техническое обеспечение дисциплины: компьютерные классы кафедры прикладной математики и компьютерного моделирования.

  

 

     Программа составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению подготовки 657100 – прикладная математика, специальность: 073000 –прикладная математика

 

 

 

 

Программу составили:

 

            доц. кафедры ПМ и КМ                                                                              Т.М.Жукова

 

            доц. кафедры ПМ и КМ                                                                  С.С.Арсеньев-Образцов