Группы

1.   Группа. Определения. Примеры, простейшие свойства.

2.   Гомоморфизм групп. Свойства. Примеры.

3.   Подгруппы (эквивалентные определения). Примеры.

4.   Изоморфизм. Свойства (примеры изоморфных и неизоморфных групп).

5.   Циклические группы. Теорема о строении циклических групп. (Бесконечного порядка изоморфно Z, конечного порядка изоморфно Zn).

6.   Теорема: подгруппа циклической группы – циклическая.

7.   Теорема Лагранжа.

8.   Следствия из теоремы Лагранжа.

9.   Нормальный делитель. Два эквивалентных определения. Примеры.

10.   Свойства образа и ядра гомоморфизма.

11.   Факторгруппа (теорема-определение факторгруппы).

12.   Теорема: подгруппа циклической группы – циклическая.

13.   Теорема: факторгруппа циклической группы - циклическая.

14.   Теорема о гомоморфизме групп и ее применение.

15.   Автоморфизмы групп. Группа AutG.

16.   Внутренние автоморфизмы. Центр группы (свойства, построение гомоморфизма φ:GAutG, ядром которого является центр группы).

Кольца

1.       Кольцо. Свойства. Примеры.

2.       Поле. Свойства. Примеры.

3.       Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Свойства. Примеры.

4.       Подкольцо. Идеал.

5.        Свойства образа и ядра гомоморфизма колец.

6.       Факторкольцо по идеалу. Примеры.

7.       Теорема о гомоморфизме колец и ее применение.

8.       Кольцо многочленов и степенных рядов.

9.       Кольцо главных идеалов. Примеры.

10.   Основная теорема арифметики (Z, K[x], где К – поле).

11.   Простые идеалы. Примеры. Основные свойства.

12.   Максимальные идеалы. Примеры. Основные свойства.

13.   Поле частных кольца без делителей нуля.

14.   Характеристика поля и ее свойства.

15.   Необходимое условие существования конечного поля из n элементов.

16.   Понятие симметрического многочлена. Теорема о представлении симметрического многочлена с помощью элементарных симметрических функций.

17.   Теорема о единственности представления симметрического многочлена с помощью элементарных симметрических функций.

18.   Теорема о поле разложения неприводимого многочлена в кольце К[x], где К – поле.